A MATEMÁTICA na VIDA das ABELHAS

Pode parecer uma pergunta tonta mas, as abelhas saberão matemática? O matemático grego, Papus de Alejandría, matemático grego que viveu do ano 284 ao 305, terá respondido que sim!

O senhor Papus baseou esta afirmação na forma hexagonal que as abelhas dão aos favos.

As abelhas, quando fabricam o mel, têm que resolver vários problemas. Precisam de o guardar em compartimentos individuais, de tal maneira que formem um mosaico sem lacunas, já que têm que aproveitar ao máximo o espaço.

Se só o podem fazer utilizando triângulos, quadrados e hexágonos, porque terão escolhido os hexágonos, se estes são mais difíceis de construir?

A resposta é um problema isoperimétrico (de igual perímetro). Papus demonstrou que, entre todos os polígonos regulares com o mesmo perímetro, tem maior área, aquele que tiver o maior número de lados.

Por este motivo, as abelhas constroem os favos de forma hexagonal, uma vez que, gastando a mesma quantidade de cera, conseguem uma maior superfície para guardar o mel.

Agora a pergunta: E quem é que ensinou isto às abelhas?...

Cálculo

Manipular números de toda a espécie, para obter uma resposta, é o processo a que chamamos cálculo.

Todas as operações matemáticas envolvem cálculos.

Outrora, o cálculo fazia-se com pedras. Antigamente os gregos usavam seixos para contar e fazer os seus cálculos elementares. Assim se explica a origem da palavra portuguesa, cálculo, que em latim, “calculus”, significa “seixo”.

Até há pouco tempo, o ábaco, com contas enfiadas em arames, era o instrumento de contagem mais divulgado. Ainda hoje, um operador com prática do ábaco consegue manipular as contas mais depressa do que um operador de teclado digital consegue encontrar as teclas!

A primeira máquina de fazer cálculos foi inventada pelo matemático francês Blaise Pascal em 1642. Esta máquina somava e subtraía e foi chamada “Pascalina”. Em 1671, o matemático e filósofo alemão, Gottfried Wilhem vom Leibniz, aperfeiçoou-a criando então um aparelho que conseguia multiplicar, por adição repetida, e dividir.

NÚMEROS CURIOSOS

NÚMEROS CAPICUA

Um número é capicua quando lido da esquerda para a direita, ou da direita para a esquerda, representa sempre o mesmo valor, como por exemplo: 88, 343, 7557, 92329.

Para se obter um número capicua a partir de outro, inverte-se a ordem dos algarismos e soma-se com o número dado, um número de vezes até que se encontre um número capicua, como por exemplo:

Partindo do número 84:

84 + 48 = 132; 132 + 231= 363 que é um número capicua!

Assim, partindo do número 84 e, depois de 2 operações, encontrámos o número capicua.

Seguindo os passos atrás descritos e partindo de um número qualquer podes obter um número capicua. Experimenta!

O CÓDIGO DE BARRAS

Hoje em dia, todas as empresas identificam os seus produtos com um código de barras.

Cada código de barras tem associado um número de 13 algarismos, que identifica bem cada produto.

Ü Os dois primeiros algarismos correspondem ao país;

Ü os cinco números seguintes identificam a empresa fabricante do produto;

Ü os outros cinco formam o número escolhido pela empresa para identificar o produto;

Ü o último algarismo é um dígito de controlo que permite detectar erros nos dígitos do país, da empresa ou do produto.

Os Poliedros da Natureza

Desde há muitos anos que os poliedros são mencionados nas obras matemáticas. Os poliedros são sólidos cujas faces têm a forma de polígonos e designam-se poliedros regulares, se todas as faces forem polígonos geometricamente iguais e todos os seus ângulos forem também iguais.

Os cristais desenvolvem-se segundo formas poliédricas. Por exemplo, os cristais de cloreto de sódio, têm a forma de cubos e de tetraedros, enquanto que os cristais do alúmen de crómio adoptam a forma de octaedros. É igualmente fascinante observar a formação de cristais dodecaédricos e icosaédricos, nas estruturas esqueléticas dos radiolários, que são animais marinhos microscópicos.

Há um número infinito de poliedros, mas há apenas cinco que são regulares e, por terem sido descobertos por Platão, são chamados Sólidos Platónicos!

Os cinco Sólidos Platónicos:

-Tetraedro

-Hexaedro Ccubo)

-Octaedro

-Dodecaedro

-Icosaedro

A Simetria dos Cristais

Os padrões e as simetrias abundam em fenómenos naturais. Em 1912, o físico Mas Von Laue fez passar raios-x num cristal esférico. Na chapa obtida apareceram pontos escuros, dispostos num arranjo nitidamente simétrico, os quais, depois de unidos, formaram o seguinte desenho:

A geometria da trajectória de um electrão

Existem diversas formas geométricas no mundo físico, muitas das quais, não são visíveis a olho nu. No caso particular da trajectória de um electrão, torna-se evidente a formação de pentágonos.

DENTRO OU FORA?

Esta linha é uma curva fechada simples.

î Se a esticarmos no solo, fica uma circunferência.

î Tem um interior e um exterior, como se fosse uma circunferência.

É fácil determinar se cada ponto, está dentro ou fora, com este pequeno truque:

O ponto B é interior ou exterior à curva?

z Unimos B com um ponto exterior (neste caso A), com uma linha qualquer (pode ser recta ou curva).

z Contamos as intersecções desta linha com o contorno da curva.

Ü Se o número de intersecções é ímpar, o ponto é interior.

Ü Se o número de intersecções é par, o ponto é exterior.

Números maiores que a imaginação

Gugol e o Gugolplex

Provavelmente, já se interrogaram, se não haveria um número “maior de todos”. E se calhar, já tentaram descobrir esse número. Terão certamente pensado, que, esse número teria de ser tão grande, que encheria todo o universo e, nada maior poderia existir. Claro que, a ilusão sobre a existência desse número, deve ter durado pouco, até alguém observar, gozando que isso não passava de uma palermice; por maior que fosse o número em que se pensasse, existiria sempre o número igual a esse mais uma unidade, obviamente maior. Lá se foi mais uma ilusão... Mas, houve alguém que não se deixou desarmar com este argumento e inventou o gugolplex, o maior número que alguém conseguiria alguma vez imaginar. Esse alguém, foi um miúdo de 9 anos, que, para poder descrever o gugolplex, inventou também o gugol.

O GUGOL É 1 SEGUIDO DE 100 ZEROS

10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

Um modo abreviado de escrever este número é: 10 ¹⁰⁰

E O GUGOLPLEX É 10 ^GUGOL, ISTO É, 1 SEGUIDO DE UM GUGOL DE ZEROS

É grande, não é? Se escrever 100 zeros, já deu algum trabalho, escrever um milhão de zeros, deve ser um enorme suplício, então como será um gugol de zeros? Acho melhor não escrever este número, para não gastar o papel todo. Mas como imaginar qual a ordem de grandeza destes números? São grandes, claro, mas 1000, ou, um bilião, também são números grandes. O gugolplex não é evidentemente o maior número de todos, pois gugolplex + 1 ainda é maior, e muito menos é que infinito!

O gugol e o gugolplex são números que ultrapassam a imaginação? Números que contam mais coisas do que aquelas que podemos pensar uma vida inteira? Mas não se esqueçam que são números finitos!

LÁPIS E NÚMEROS

Há quase cinco séculos, que os povos tiram partido de um simples objecto de madeira com um pau de grafite incluído – o lápis!

Já lhe chamam o sobrevivente, pois nem os computadores, as canetas ou as lapiseiras, o conseguem eliminar, sendo actualmente, um utensílio usado em todo o mundo.

Ë Leonardo da Vinci desenhou as suas invenções com um lápis de madeira de cedro.

Ë Uma árvore pode produzir 300 mil lápis.

Ë Actualmente, a população mundial gasta por ano, mais de 1 milhão de metros cúbicos de madeira, no fabrico de, cerca de 10 milhões de lápis.

Ë Cada lápis, pode escrever 45 mil palavras e ser afiado 17 vezes.

Ë Os primeiros lápis tinham secção quadrada, só mais tarde, é que passaram a ter secção hexagonal e circular.

Os egípcios sabiam muito bem trabalhar com razões, ou seja divisões. Descobriram logo, que a razão entre o comprimento de uma circunferência e o seu diâmetro, é a mesma para qualquer circunferência, e o seu valor é um número “um pouquinho maior que 3”!

É a essa divisão (ou razão), que hoje, chamamos pi.

No " Palais de la Découvert", em Paris, numa das salas do pavilhão de Matemática, existe o valor de pi, escrito em volta de toda a sala, com 731 decimais.

Hoje, os cérebros electrónicos, calculam o valor de pi, com muitas centenas de decimais.

Existem também, os artifícios mnemónicos, para a escrita dos algarismos do número pi , e, "a quantidade de letras de cada palavra fornece o algarismo correspondente.

Vejamos alguns exemplos:

1 – "Ama a Deus e segue fielmente as lições dadas por Jesus Nazareno."

3 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8

(p = 3,141 592 653 58 ... )

2 – "Sou o medo e pavor constante do menino vadio, bem vadio."

3 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5

(p = 3,141 592 653 5 ... )

3 – "Que j’aime à faire connaître ce nombre utile aux sages!"

3 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5

(p = 3,141 592 653 5 ... )

4 – "Yes, I have a number."

3 1 4 1 6

(p = 3,141 6 ... )

O Zero

Apresenta-se o zero. Ninguém dá nada por ele, mas é um dos mais extraordinários personagens do mundo da matemática.

Nasceu na Índia, e o seu baptismo foi uma cerimónia complicadíssima, que durou anos e anos… Os Árabes puseram-lhe o nome de “sirf”, que significava “vazio”. Depois, os matemáticos traduziram o nome para latim e passaram a chamar-lhe, “zefirum” (embora outros lhe chamassem “cifra”). Com o tempo, “zefirum”, acabou em “zero”, que é uma palavra mais fácil de dizer do que “zefirum”…

Durante muitos séculos, no entanto, muitos matemáticos teimaram em chamar-lhe “cifra”. Mesmo no século XIX, o grande matemático Gauss, escrevia “cifra”, e não “zero”.

Os árabes, foram buscar à Índia, o misterioso zero, símbolo que representava um “vazio”. O problema tinha surgido quando, na Índia, quiseram escrever os números (não se podiam guardar todas as contas na cabeça, por muito boa memória que houvesse naqueles tempos de boa memória…). Ora, era fácil dizer, por exemplo, que um certo rebanho tinha quinhentos e um carneiros (isto é, cinco centenas, nenhuma dezena e uma unidade); mas como escrever isso? Se só existissem, o símbolo 5 e o símbolo 1, e se quisesse colocar o cinco na coluna das centenas e o 1, na coluna das unidades, como se poderia escrever que, entre os dois, havia uma segunda coluna, a coluna das dezenas, sem nenhuma quantidade, isto é, “vazia”? Então zero apareceu para resolver um problema da escrita dos números.

Daí em diante, a vida do zero foi uma verdadeira aventura. Muitos povos ignoraram-no durante séculos (a numeração romana, por exemplo, não tem zeros): para que é que servia um sinal que não representava quantidade nenhuma? Ninguém vê zero vacas num campo nem zero estrelas no céu… Para quê contar, ou medir, nada? Na idade média, o pobre zero, chegou mesmo a ser considerado, como uma criação do diabo!

Hoje a matemática não existiria sem o zero. Apesar disso, ele continua a não ser um número como todos os outros. É um personagem estranho e original, que troça permanentemente do nosso senso comum: não é um número positivo, nem um número negativo, e é duas coisas ao mesmo tempo; é o único número que é igual ao seu oposto; na adição e na subtracção, comporta-se como se lá não estivesse; na multiplicação, pelo contrário, absorve todos os outros factores; por fim, quando numa divisão, é o divisor, torna-a completamente indefinida…

Não se pode dizer que, quanto a comportamento, o zero seja uma pessoa, isto é, um número certinho…

Manuel António Pinha/Pedro Proença

Pequeno Livro de Desmatemática

Um Matemático traquinas

Carl Friedrich Gauss (1777- 1855) foi um dos maiores matemáticos de todos os tempos

Desde criança começou a revelar o seu talento. Na escola todas as tarefas eram demasiado fáceis e por isso ele aborrecia-se.
Conta-se que um dia, para tentar mantê-lo ocupado, o professor pediu-lhe para calcular a soma de todos os números inteiros de 1 a 99. Os planos do professor saíram gorados porque o jovem Gauss deu a resposta imediatamente e sem escrever nada.

Qual foi o valor obtido por Gauss para a soma dos números inteiros de 1 até 99?

Para obter essa soma, Gauss colocou duas séries de números do seguinte modo e observou que as somas de todas as colunas eram iguais:

...

100

…

100

O que fazendo as contas dá: 99x100 = 9900

A matemática da música

Na acústica e na música, a ciência e a arte do som, temos um exemplo notável da associação entre o belo e o número.

A música exprime, com efeito, todos os sentimentos e influi sobre todos os estados da alma humana. Exprime a alegria e torna-a mais viva; exprime a dor e torna-a mais suave; exprime as paixões e torna-as mais calmas; exprime o sentimento religioso e torna-o mais espiritual; exprime o amor e torna-o mais puro.

Descreve as belezas do campo, com os murmúrios dos regatos, os cantos das aves, o sussurro do vento, o ribombar dos trovões e os cantos dos pastores.

Todas estas maravilhas do som, são afinal, o resultado de grupos de vibrações, numericamente determinadas e dadas em tempos medidos, que os instrumentos musicais produzem, o ar leva ao ouvido, e de lá, passam ao cérebro, que, misteriosamente as transforma em tão variados efeitos.

Para que estes grupos de vibrações formem acordes harmoniosos, é necessário que satisfaçam certas condições numéricas.

Podemos dizer que a música, com os seus tempos e acordes medidos, é a Matemática do ouvido.

Desde tempos remotos, que a música e a matemática, andam ligadas. Durante a época medieval, os currículos educativos agrupavam em conjunto a aritmética, a geometria, a astronomia e a música. Os modernos computadores perpetuam hoje esta ligação.

A escrita de partituras é uma primeira área onde a matemática revela, obviamente, a sua influência na música. Na linguagem musical encontramos o andamento (quaternário, ternário etc.), o ritmo, as notas breves, semi-breves e por aí adiante. Escrever música de forma a preencher uma certa quantidade de tempo com n notas, é semelhante ao processo de encontrar um denominador comum. As diferentes durações das notas devem encaixar numa medida específica de um dado compasso. Quando se analisa um trabalho acabado, todas as porções têm prescrito o número de batimentos, usando as várias durações requeridas para as notas. A juntar à relação óbvia entre a matemática e as partituras musicais, a música está relacionada com razões, curvas exponenciais, funções periódicas e ciências da computação. Com as razões, os pitagóricos foram os primeiros a associar música e matemática. Descobriram a relação entre a harmonia musical e os números inteiros, ao reconhecerem que o som provocado por uma corda percutida, dependia do seu comprimento. Descobriram também que os sons harmónicos eram produzidos por cordas com a mesma tensão, com comprimentos formando razões de termos inteiros – de facto, qualquer combinação harmónica, resultante da percussão de cordas, pode ser expresso como uma razão entre números inteiros. O aumento do comprimento da corda, segundo essas razões, permite a obtenção de uma escala inteira.

Alguma vez se interrogaram sobre a forma de um piano de cauda? Na realidade, muitos instrumentos têm formas e estruturas, relacionadas com vários conceitos matemáticos. As funções e as curvas exponenciais fazem parte desses conceitos.

O estudo da natureza dos sons musicais atingiu o apogeu com o trabalho de John Fourier, um matemático do século XIX. Ele demonstrou que todos os sons musicais – instrumentais ou vocais – podiam ser descritos por expressões matemáticas, as quais eram as somas de funções periódicas simples de senos.

Sem a compreensão da matemática da música, não teria sido possível, o progresso na utilização de computadores na composição musical e a concepção de instrumentos.

As descobertas matemáticas, nomeadamente das funções periódicas, foram essenciais na moderna concepção de instrumentos musicais e na concepção de computadores activados pela voz.

“A música é o prazer que a alma humana sente em contar, sem ter consciência de que está a contar.”

Leibniz

Gigantes numéricos

O tamanho de um mosquito é cerca de 7mm de comprimento.

Qual será o seu comprimento se o aumentarmos 1 milhão de vezes ?

Multiplicamos 7mm por 1 000 000, que dá 7 km; Aproximadamente a largura de uma grande cidade!

Que altura terá um homem, um milhão de vezes mais alto que o normal ?

Terá cerca de 1700 km . Com um passo ele poderia ir de Leninegrado a Moscovo e, se ele se deitasse estendia-se desde a Finlândia até à Ucrânia!

A espessura do cabelo humano é cerca de 0,1 mm.

Que tamanho terá uma banda com um milhão de cabelos ?

A largura chegará aproximadamente a 100 metros.

Não caberia numa porta !

Anões numéricos

O mundo dos anões numéricos é formado pelos números que são muito mais pequenos que a unidade. Para os encontrar-mos temos que dividir a unidade por 1 milhão, 1 bilião, 1 trilião, etc.

Podemos perguntar:

Para que servem números tão pequenos?

Em que é que se utilizam?

Quais são as distâncias mínimas que se podem medir na natureza?

No sistema métrico, a unidade mínima de comprimento é o milímetro que serve para medir objectos visíveis a olho nu.

Mas para medir bactérias e outros objectos, que só são visíveis com potentes microscópios, o milímetro é excessivamente grande!

Os cientistas usam o mícron, que é 1000 vezes menor que o milímetro

Por exemplo, os glóbulos vermelhos que existem no nosso sangue têm um comprimento de 7 mícron e uma espessura de 2 mícron.

Mas também o mícron é muito grande para as distâncias que se medem na física. A molécula, a mais pequena partícula, das quais são formados todos os corpos da natureza, e os átomos, que formam as moléculas, têm dimensões desde 1 centésima até uma milésima parte do mícron.

O átomo formado por um núcleo e por electrões

que giram à sua volta, têm dimensões desde uma

centésima até uma milésima parte do mícron.

Vamos comparar!

Se compararmos as dimensões do átomo com as de uma partícula de pó, o cálculo mostrará que o electrão é menor do que a partícula de pó, aproximadamente tantas vezes como a partícula de pó é menor que, a esfera terrestre!

Os números irracionais e o teorema de Pitágoras

Os números irracionais são aqueles que não podem ser representados nem por uma dízima finita nem por uma infinita periódica, ou seja, quando tentamos escrever números irracionais na forma de números decimais, vemos que se tratam de dízimas não finitas e não periódicas. Exemplos:

Raiz quadrada de 2=1,414221...

Durante milhares de anos, os matemáticos tentaram arranjar métodos para obter aproximações decimais mais exactas dos números irracionais.

Considerando o tempo e o esforço gastos na concepção de tais métodos, não podemos deixar de ficar espantados pelo facto de ser possível determinar com exactidão o valor de muitos números irracionais através do Teorema de Pitágoras. Os matemáticos gregos da Antiguidade demonstraram o Teorema de Pitágoras e utilizaram-no na construção de linhas com o comprimento exacto de números irracionais. Vamos ver como:

Os hexágonos da natureza

Muitas das criações da natureza são espantosos modelos de objectos matemáticos.É disso exemplo, o hexágono regular. O hexágono é uma figura de seis lados, e diz-se regular se todos eles tiverem o mesmo comprimento e se os seus ângulos tiverem todos a mesma amplitude.

Ao caminhar numa estrada coberta de neve estamos, na verdade, no meio de um conjunto magnífico de formas geométricas. O floco de neve é um dos exemplos mais excitantes de simetria hexagonal da natureza.

(…)Os flocos de neve que batiam no rosto do Roberto, foram-se tornando maiores e ele reparou que nenhum daqueles flocos de neve era igual. Todos eles eram diferentes, grandes e brancos, e a maioria tinha seis pontas. E quando se olhava com mais atenção, via-se que o padrão se repetia: estrelas de seis pontas dentro de uma estrela de seis pontas, raios que se dividiam em raios cada vez mais pequenos, dentes que produziam outros dentes. (…)

In “O Diabo dos Números”

A curva do floco de neve

A curva do floco de neve tem este nome devido à forma semelhante que os flocos de neve assumem quando se formam. Para gerar uma destas curvas começa com um triângulo equilátero.

Divide-se então cada lado do triângulo em três partes iguais. Em seguida, faz-se um triângulo equilátero para o exterior, a partir dos pontos resultantes da divisão dos lados originais, mas apaga-se a base do novo triângulo que está sobre o lado do antigo. Continua-se este procedimento em todos os triângulos equiláteros entretanto formados, dividindo em três partes os lados e construindo novos triângulos. É assim que, a partir da repetição deste processo, é gerada a curva do floco de neve.

O pentágono e o pentagrama

O pentagrama, estrela de cinco pontas, é gerado a partir de um pentágono regular, quando se desenham as suas diagonais. Esta figura simples é um vislumbre do infinito. Aninhado dentro das linhas da estrela está o pentágono. Ligando os vértices do pentágono com linhas, criamos uma estrela pequena e invertida de cinco pontas, que é exactamente a mesma, em proporção, que a estrela original. Esta estrela, por sua vez, contém um pentágono ainda mais pequeno, que contém uma estrela mais pequena no seu pequeníssimo pentágono, e assim sucessivamente.

A propriedade mais importante do pentagrama não se encontra na sua auto – réplica, mas está escondida dentro das linhas da estrela, que contêm uma forma – número: a razão de ouro.

Podemos continuar assim sucessivamente, que o resultado é sempre o mesmo.

A Garrafa de Klein

A garrafa de Klein é um objecto muito intrigante. Felix Klein, um matemático alemão (1849 – 1925) concebeu um modelo topológico representado por uma garrafa especial que tem apenas uma superfície. A garrafa de Klein tem uma parte exterior mas não tem interior, visto passar através de si própria. Se deitássemos água num orifício, ela voltaria a sair pelo mesmo sítio.

Nesta garrafa , não se sabe o que está dentro e o que está fora. Vamos imaginar que a queríamos pintar de azul por dentro e de vermelho por fora. Isso não seria possível. Na verdade ela não tem uma borda em sítio algum. Nunca poderíamos descobrir onde terminaria o lado vermelho e começaria o lado azul.

QUANTO TEMPO LEVA A CONTAR um MILHÃO?

Falamos de milhares de milhões, sem nos aperceber-mos,

por vezes, que se trata de enormes quantidades!

Para termos uma ideia da ordem de grandeza destes números,

se começarmos a contar, a partir do um à velocidade

de um número por segundo, vejamos o tempo que levamos:

Para contar até:	Gastamos aproximadamente:
1000	17 minutos
10 000	2 horas e 47 minutos
100 000	1 dia, 3 horas e 47 minutos
1 000 000	11 dias, 13 horas e 47 minutos

PALÍNDROMOS NUMÉRICOS

Um palíndromo é uma palavra, frase ou número que se lê da mesma forma da esquerda para a direita e da direita para a esquerda.

Eis alguns exemplos:

1. OVO

2. 10233201

3. ROMA É AMOR

4. 21512

5. ADIAS A SAÍDA

6. 666

7. SOCORRAM-ME SUBI NO ÔNIBUS EM MARROCOS

Aqui está uma curiosidade numérica interessante:

Começa com um número inteiro qualquer;

Adiciona-lhe os números formados pelos mesmos algarismos mas dispostos por ordem inversa;

Continua assim sucessivamente até encontrares um número capicua.

O Número do Bilhete de Identidade

Certamente já ouviste alguém dizer que o algarismo suplementar que se segue ao número do BI indica o número de pessoas em Portugal que têm um nome exactamente igual ao do portador do BI

Afinal de contas, o que representa o misterioso algarismo suplementar que se segue ao número do nosso BI?

Em primeiro lugar, ele não representa o número de pessoas com o mesmo nome ou qualquer outra disparatada hipótese deste tipo.

O algarismo suplementar é apenas um algarismo de controlo que detecta se o número do BI está correctamente escrito ou não.